Do $AH\bot \left( {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}} \right)$ nên góc $A{{A}_{1}}H$ là góc giữa AA₁ và $\left( {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}} \right)$  theo giả thiết thì góc AA₁H bằng 30⁰.

Xét tam giác vuông $AH{{A}_{1}}$ có $A{{A}_{1}}=a,A{{A}_{1}}H={{30}^{0}}\Rightarrow AH=\frac{a}{2}$

Xét $AH{{A}_{1}}$ có $A{{A}_{1}}=a$ góc $A{{A}_{1}}H={{30}^{0}}\Rightarrow {{A}_{1}}H=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Do A₁B₁C₁ đều cạnh a, H thuộc B₁C₁ và ${{A}_{1}}H=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Suy ra A₁H vuông góc B₁C₁.

$AH\bot {{B}_{1}}{{C}_{1}}$ nên ${{B}_{1}}{{C}_{1}}\bot \left( A{{A}_{1}}H \right)$

HK chính là khoảng cách giữa AA₁ và B₁C₁ . Ta có

$A{{A}_{1}}.HK={{A}_{1}}H.AH\Rightarrow HK=\frac{{{A}_{1}}H.AH}{A{{A}_{1}}}=\frac{a\sqrt{3}}{4}$