Xét phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị:

$-x+m=\frac{2x+1}{x+2}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x\ne 2 \\ & (x+2)(-x+m)=2x+1 \\ \end{align} \right.$

$\begin{align} & \Leftrightarrow -{{x}^{2}}+x(m-2)+2m=2x+1 \\ & \Leftrightarrow {{x}^{2}}+x(4-m)+1-2m=0(*) \\ \end{align}$

Phương trình (*) có $\Delta ={{(4-m)}^{2}}-4\left( 1-2m \right)={{m}^{2}}+12>0,\text{ }\forall \text{x}\in \mathbb{R}$  nên (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt $\Rightarrow $ 2 đồ thị luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt $\forall \text{x}\in \mathbb{R}$.