Giả sử $D\left( a;b \right)$. Vì M là trung điểm của BD nên $B\left( 6-a;2-b \right)$

$AD\bot DC\Rightarrow BN//CD\Rightarrow \overrightarrow{BN},\overrightarrow{CD}$ cùng phương

$\overrightarrow{BN}=\left( a-7;b-1 \right),\overrightarrow{CD}=\left( a-4;b+2 \right)$

$\Rightarrow \left( a-7 \right)\left( b+2 \right)=\left( a-4 \right)\left( b-1 \right)\Leftrightarrow b=a-6\,\,\left( 1 \right)$

$\overrightarrow{PD}=\left( a-1;b-3 \right),\overrightarrow{CD}=\left( a-4;b+2 \right)$

$\overrightarrow{PD}\bot \overrightarrow{CD}\Rightarrow \left( a-1 \right)\left( a-4 \right)+\left( b-3 \right)\left( b+2 \right)=0\,\left( 2 \right)$

Thế (1) vào (2) ta được $2{{a}^{2}}-18a+40=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & a=5 \\ & a=4 \\ \end{align} \right.$

• Với $a=4\Rightarrow b=-2\Rightarrow D\left( 4;-2 \right)$ loại vì D trùng C.


• Với $a=5\Rightarrow b=-1\Rightarrow D\left( 5;-1 \right)$ và $B\left( 1;-1 \right)$

Đường thẳng AD qua $P\left( 1;3 \right),D\left( 5;-1 \right)\Rightarrow AD:x+y-4=0$

$AB\bot BC$ và đi qua $B\left( 1;-1 \right)\Rightarrow AB:3x-y-4=0\Rightarrow S=a+2b=3-8=-5\Rightarrow A$