Ta có: $\left\{ \begin{align}   & FBA={{180}^{0}}-ABC={{60}^{0}} \\ & ABE={{60}^{0}} \\\end{align} \right.\Rightarrow AB$là phân giác của FBE. Do$FA\bot BF,AE\bot BE$

Nên $AF=AE\to \Delta AEF$ cân tại A. Lại có: $FAE=BAE+FAB={{60}^{0}}\to \Delta AEF$ đều

Xét tam giác AEF: $S=30\sqrt{3}$ nên độ dài cạnh tam giác đều: $a=2\sqrt{30};R=2\sqrt{10}$

Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF : ${{x}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=40$

A là giao của đường tròn và đường thẳng $3x-y+8=0\Rightarrow A\left( -2;8 \right)$

Phương trình EF , đi qua M là trung điểm của EF , điểm M được tìm từ tỉ lệ vecto :

$\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{GM}\Rightarrow M\left( 1;-1 \right)$. Phương trình EF khi đó: $x-3y-4=0\Rightarrow S=\frac{a}{b}=\frac{1}{-4}$