Điều kiện: $x\in \left[ 0;4 \right]$. Khi đó phương trình tương đương với:

                        $\left( x\sqrt{x}+\sqrt{x+12} \right)\left( \sqrt{5-x}-\sqrt{4-x} \right)=m$

 Xét hàm số $f\left( x \right)=\left( x\sqrt{x}+\sqrt{x+12} \right)\left( \sqrt{5-x}-\sqrt{4-x} \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ 0;4 \right]$

Ta xét riêng như sau:

            ${{g}_{1}}\left( x \right)=x\sqrt{x}+\sqrt{x+12}\Rightarrow g_{1}^{'}\left( x \right)=\frac{3{{\text{x}}^{2}}}{2\sqrt{{{x}^{3}}}}+\frac{1}{2\sqrt{x+12}}>0$

Suy ra hàm số g₁(x) đồng biến trên đoạn $\left[ 0;4 \right]$

            ${{g}_{2}}\left( x \right)=\sqrt{5-x}-\sqrt{4-x}\Rightarrow g_{2}^{'}\left( x \right)=\frac{\sqrt{5-x}-\sqrt{4-x}}{2\sqrt{5-x}\sqrt{4-x}}$

Với $x\in \left[ 0;4 \right]\Rightarrow \sqrt{5-x}>\sqrt{4-x}\Rightarrow g_{2}^{'}\left( x \right)=\frac{\sqrt{5-x}-\sqrt{4-x}}{2\sqrt{5-x}\sqrt{4-x}}>0$

Suy ra hàm số ${{g}_{2}}\left( x \right)$đồng biến trên đoạn $\left[ 0;4 \right]$

Từ đó suy ra $f\left( x \right)={{g}_{1}}\left( x \right).{{g}_{2}}\left( x \right)$ luôn đồng biến trên đoạn $\left[ 0;4 \right]$

Suy ra phương trình có nghiệm khi chỉ khi $f\left( 0 \right)\le m\le f\left( 4 \right)\Rightarrow 2\sqrt{3}\left( \sqrt{5}-2 \right)\le m\le 12$

Từ đó suy ra có 12 giá trị nguyên của m thỏa mãn