$y'=4\left( m+1 \right){{x}^{3}}-2\left( 3-2m \right)x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=0  \\ 2\left( m+1 \right){{x}^{2}}+2m-3=0\left( * \right)  \\ \end{matrix} \right.$

Hàm số đã cho có đúng một cực đại $\Leftrightarrow $ Hàm số có đúng 1 cực đại tại $x=0$

$y''=12\left( m+1 \right){{x}^{2}}+2\left( 2m-3 \right);y''\left( 0 \right)=2\left( 2m-3 \right)<0\Leftrightarrow m<\frac{3}{2}$ thì $x=0$ thì điểm cực đại của hàm số.

Khi $m=\frac{3}{2}\Rightarrow y=\frac{5}{2}{{x}^{4}}+1$ thì hàm số có đúng 1 cực tiểu tại $x=0$ nên loại.

Vậy $m<\frac{3}{2}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.