$y=\sin x\left( 1+\cos x \right)=\sin x+\sin x\cos x=\sin x+\frac{1}{2}\sin 2x$

$y'=\cos x+\cos 2x=2{{\cos }^{2}}x+\cos x-1$

Với $x\in \left[ 0;\pi  \right]$, ta có $y'=0\Leftrightarrow \left( \cos x+1 \right)\left( 2\cos x-1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos x=-1 \\ & \cos x=\frac{1}{2} \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\pi  \\ & x=\frac{\pi }{3} \\ \end{align} \right.$

Ta có $y\left( 0 \right)=y\left( \pi  \right)=0;y\left( \frac{\pi }{3} \right)=\frac{3\sqrt{3}}{4}\Rightarrow \underset{x\in \left[ 0;\pi  \right]}{\mathop{\max }}\,y=\frac{3\sqrt{3}}{4}$