Gọi h là độ dài đường cao của tam giác đều có cạnh bằng a . Ta có $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Gọi O  giao điểm của 3 đường cao trong tam giác đều suy ra $SO\bot \left( ABC \right)$

Theo bài ra ta có SCO chính là góc giữa cạnh bên và cạnh đáy nên $SCO=\alpha $

$\frac{SO}{\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\tan \alpha \to SO=\frac{a\sqrt{3}\tan \alpha }{3}$

Thể tích của hình chóp là

$V=\frac{1}{3}.SO.{{S}_{ABC}}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}\tan \alpha }{3}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{{{a}^{3}}}{12}\tan \alpha $