Với đề bài dạng này, nếu làm theo cách đại số vẽ BBT thì thực sự rất lâu. Dĩ nhiên là kết quả vẫn đúng nếu bạn tính toán cẩn thận. Tuy nhiên, tôi muốn giới thiệu với quý độc giả cách làm hình học để rút ngắn thời gian, mà không cần tính toán phức tạp

Vì khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P) là thay đổi nên cần tìm một đại lượng là hằng số sao cho $AH\ge \operatorname{const}$

Nhận thấy đề cho điểm $A\left( 1;1;3 \right)$ và đường thẳng $\Delta $. Vậy khoảng cách từ A đến $\Delta $ hằng số. Từ đó ta đã định hướng được cách làm.

Gọi H, K lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống $\left( P \right),\Delta $. Tam giác AHK vuông tại H. $\Rightarrow AH\le AK=d\left( A;\Delta  \right)$

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi $H\equiv K\Leftrightarrow \left( P \right)$ qua A và nhận AK làm vtpt.

Vì $K\in \Delta $ nên $K\left( t;1+2t;2+2t \right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{AK}=\left( t-1;2t;2t-1 \right)$. Mà $AK\bot \Delta $ do đó $\overrightarrow{AK}.\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=0$

$\Leftrightarrow t+2\left( 1+2t \right)+2\left( 2+2t \right)=0$

$\Leftrightarrow 9t+6=0\Leftrightarrow t=-\frac{2}{3}\Rightarrow K\left( -\frac{2}{3};-\frac{1}{3};\frac{2}{3} \right)$$\left( P \right):\text{ Qua}\,\text{K}\left( \frac{-2}{3};\frac{-1}{3};\frac{2}{3} \right)$, và có vtcp

$\overrightarrow{n}=\left( \frac{-5}{3};\frac{-4}{3};\frac{7}{3} \right)$

$\Rightarrow \left( P \right):-\frac{5}{3}\left( x+\frac{2}{3} \right)-\frac{4}{3}\left( y+\frac{1}{3} \right)+\frac{7}{3}\left( z-\frac{2}{3} \right)=0$

$\Leftrightarrow \left( P \right):-15x-12y+21z-28=0$