Phân tích: Chúng ta có điều kiện đủ sau đây:

“Nếu $f'\left( x \right)>0\left( f'\left( x \right)<0 \right)$ trên khoảng $\left( a,b \right)$ thì hàm số $y=f\left( x \right)$ đồng biến (nghịch biến) trong khoảng đó.”

Vậy điều ngược lại có đúng không? Ta cùng đi đến định lý mở rộng sau đây:

“Nếu trên khoảng $\left( a,b \right)$, hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm và phương trình $f'\left( x \right)=0$ chỉ có hữu hạn nghiệm thì:

1. $f\left( x \right)$ đồng biến khi và chỉ khi $f'\left( x \right)\ge 0$ ;


2. $f\left( x \right)$ nghịch biến khi và chỉ khi $f'\left( x \right)\le 0$”;

Vậy từ định lý mở rộng mà tôi vừa đưa ra ở trên, quý độc giả có thể giải quyết bài toán này một cách dễ dàng.

Xét hàm số $y={{x}^{3}}+\left( 1-2m \right){{x}^{2}}+m+2$ trên $\mathbb{R}$

Hàm số $f\left( x \right)$ luôn đồng biến trên $\left( 0;+\infty  \right)$ khi và chỉ khi $f'\left( x \right)\ge 0$ . Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn nghiệm.

$y'=3{{x}^{2}}+2\left( 1-2m \right)x\ge 0$ với mọi $x\in \left( 0;+\infty  \right)$.

Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn nghiệm $\Leftrightarrow x+2-4m\ge 0$ (do $x\in \left( 0;+\infty  \right)$)

$\Leftrightarrow m\le \frac{x+2}{4}$ . Xét hàm số $g\left( x \right)=\frac{x+2}{4}$ trên $\left( 0;+\infty  \right)$

Để $m\le g\left( x \right)$ với mọi $x\in \left( 0;+\infty  \right)$ thì $m\le \frac{1}{2}$ . Vậy giá trị lớn nhất của m thỏa mãn đề bài là $m=\frac{1}{2}$.

Trên đây là cách giải thích chi tiết, tuy nhiên quý độc giả có thể nhẩm nhanh mà không cần vẽ BTT sẽ rất tốn thời gian, vì thế hãy linh hoạt trong mọi tình huống nhé.