Phân tích: Với $x\ne 2$

Xét đến giao điểm của hai đồ thị hàm số thì ta đi xét phương trình hoành độ giao điểm:

$\frac{x-3}{2-x}=-x+m\Leftrightarrow \left( x-m \right)\left( x-2 \right)=x-3$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-\left( m+2 \right)x+2m=x-3$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-\left( m+3 \right)2+2m+3=0\left( * \right)$

Để hai đồ thị hàm số cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì phương trình  có hai nghiệm phân biệt khác 2.

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta '>2  \\ {{2}^{2}}-\left( m+3 \right)2+2m+3\ne 0  \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow {{\left( m+3 \right)}^{2}}-2m-3>0$

Luôn thỏa mãn. Vậy số nguyên dương m nhỏ nhất là $m=1$