Phân tích: Đây là dạng bài tích phân từng phần, để giải quyết nhanh bài toán, quý độc giả có thể bấm máy tính để có được kết quả như sau:

Tuy nhiên ở đây: tôi xin giải thích cách làm về mặt toán học như sau:

Đây là dạng bài tích phân từng phần.

Đặt $\left\{ \begin{matrix} u=x\Rightarrow du=dx  \\ dv=\cos 2xdx\Rightarrow v=\frac{1}{2}\sin 2x  \\  \end{matrix} \right.$

Khi đó $I=\frac{1}{2}.x.\sin 2x\left| \begin{matrix} \frac{\pi }{2}  \\ 0  \\ \end{matrix}- \right.\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{1}{2}}\sin 2xdx$

$=\frac{1}{2}.\frac{\pi }{2}.\sin \pi -\frac{1}{2}.0.\sin 0-\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin x.\cos xdx}$

$=-\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin xd\left( \sin x \right)}=-\frac{1}{2}.{{\sin }^{2}}x\left| \begin{matrix} \frac{\pi }{2}  \\ 0  \\ \end{matrix} \right.$

$=\frac{-1}{2}.\left( {{\sin }^{2}}\frac{\pi }{2}-{{\sin }^{2}}0 \right)=-\frac{1}{2}$