Câu hỏi của Vinastudy - Hệ Thống Giáo Dục Trực Tuyến - Toán lớp Luyện thi THPQG | Học trực tuyến
0
Cho hai số phức z1; z2 thỏa mãn $\left| i{{z}_{1}}+\sqrt{2} \right|=\frac{1}{2}$và ${{z}_{2}}=i{{z}_{1}}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$
Hỏi lúc: 13-12-2018 14:36
1 Trả Lời
Lưu ý khi trả lời:
- Cần có tài khoản trước khi gửi bình luận.
- Trả lời giúp bạn cũng là giúp mình.
- Trả lời theo nội dung câu hỏi không bình luận lan man lạc chủ đề.
- Gửi câu trả lời phải rõ ràng, viết tiếng Việt có dấu.
- Trả lời có đính kèm liên kết tới website khác sẽ bị ban vĩnh viễn.
- Vi phạm chính sách sẽ dẫn tới việc bị dừng tất cả dịch vụ sử dụng tại website.
-
0
Phân tích: Bài toán này thực chất là dựa trên kiến thức “Biểu diễn hình học số phức”. Ta thấy nếu đặt ${{z}_{1}}={{x}_{1}}+{{y}_{1}}i$ $({{x}_{1;}};{{y}_{1}}\in \mathbb{R})$. Khi đó điểm $M({{x}_{1;}};{{y}_{1}})$ là điểm biểu diễn số phức z1 thỏa mãn:
$\left| i({{x}_{1}}+{{y}_{1}}i)+\sqrt{2} \right|=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \left| i{{x}_{1}}-{{y}_{1}}+\sqrt{2} \right|=\frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow x_{1}^{2}+{{({{y}_{1}}-\sqrt{2})}^{2}}=\frac{1}{4}$. Suy ra tập hợp các điểm M biểu diễn z1 là đường tròn (C) có tâm $I(0;\sqrt{2})$ và bán kính $R=\frac{1}{2}$.
Khi đó nếu N là điểm biểu diễn của số phức z2 thì việc tìm GTNN của $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ là việc tìm GTNN của MN.
Theo đề thì ${{z}_{2}}=i{{z}_{1}}=-{{y}_{1}}+{{x}_{1}}i\Rightarrow N\left( -{{y}_{1}};{{x}_{1}} \right)$là điểm biểu diễn z2. Ta nhận thấy rõ ràng $\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{ON}={{x}_{1}}{{y}_{1}}+{{x}_{1}}{{y}_{1}}=0\Rightarrow \sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}$. Dễ nhận thấy OM=ON=$\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}$
Ta có hình vẽ sau:
Do OMN là tam giác vuông cân tại O nên MN=OM$\sqrt{2}$, do đó để MN nhỏ nhất thì OM nhỏ nhất. Dễ thấy, OM nhỏ nhất khi M≡M’ (M’ là giao điểm của OI với đường tròn như hình vẽ). Tức là $M\left( 0;\sqrt{2}-\frac{1}{2} \right)$. Khi đó $MN=OM\sqrt{2}=\left( \sqrt{2}-\frac{1}{2} \right)\sqrt{2}=2-\frac{1}{\sqrt{2}}$
Trả lời lúc: 13-12-2018 15:59