Phân tích:  Bài toán này thực chất là dựa trên kiến thức “Biểu diễn hình học số phức”. Ta thấy nếu đặt ${{z}_{1}}={{x}_{1}}+{{y}_{1}}i$ $({{x}_{1;}};{{y}_{1}}\in \mathbb{R})$. Khi đó điểm $M({{x}_{1;}};{{y}_{1}})$ là điểm biểu diễn số phức z₁ thỏa mãn:

$\left| i({{x}_{1}}+{{y}_{1}}i)+\sqrt{2} \right|=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \left| i{{x}_{1}}-{{y}_{1}}+\sqrt{2} \right|=\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow x_{1}^{2}+{{({{y}_{1}}-\sqrt{2})}^{2}}=\frac{1}{4}$. Suy ra tập hợp các điểm M biểu diễn z₁ là đường tròn (C) có tâm $I(0;\sqrt{2})$ và bán kính $R=\frac{1}{2}$.

Khi đó nếu N là điểm biểu diễn của số phức z₂ thì việc tìm GTNN của $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ là việc tìm GTNN của MN.

Theo đề thì ${{z}_{2}}=i{{z}_{1}}=-{{y}_{1}}+{{x}_{1}}i\Rightarrow N\left( -{{y}_{1}};{{x}_{1}} \right)$là điểm biểu diễn z₂. Ta nhận thấy rõ ràng $\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{ON}={{x}_{1}}{{y}_{1}}+{{x}_{1}}{{y}_{1}}=0\Rightarrow \sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}$. Dễ nhận thấy OM=ON=$\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}$

Ta có hình vẽ sau:

Do OMN là tam giác vuông cân tại O nên MN=OM$\sqrt{2}$, do đó để MN nhỏ nhất thì OM nhỏ nhất. Dễ thấy, OM nhỏ nhất khi M≡M’ (M’ là giao điểm của OI với đường tròn như hình vẽ). Tức là $M\left( 0;\sqrt{2}-\frac{1}{2} \right)$. Khi đó $MN=OM\sqrt{2}=\left( \sqrt{2}-\frac{1}{2} \right)\sqrt{2}=2-\frac{1}{\sqrt{2}}$