Phân tích: Ta có diện tích hình phẳng được tính bằng công thức: $S=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{\tan xdx}$

$=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{\sin x}{\cos x}dx}=-\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{1}{\cos x}.d(c}osx)=-\ln \left| \cos x \right|\left| \begin{matrix} \frac{\pi }{3}  \\ 0  \\ \end{matrix} \right.$

$=-\ln \left| \cos \frac{\pi }{3} \right|+\ln \left| \cos 0 \right|=-\ln \frac{1}{2}=\ln 2$

Thể tích vật thể tròn xoay được tính bởi công thức: $V=\pi \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{{{\tan }^{_{2}}}xdx}=\pi \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{\left( \frac{1}{{{\cos }^{2}}x}-1 \right)}dx$

$=\pi (\tan x-x)\left| \begin{matrix} \frac{\pi }{3}  \\ 0  \\ \end{matrix} \right.$$=\pi \left( \tan \frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{3}-\tan 0+0 \right)=\pi \left( \sqrt{3}-\frac{\pi }{3} \right)$