Phân tích: Để biết hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng nào ta thường xét dấu của đạo hàm để kết luận.

Với dạng này ta có 2 cách xử lý như sau:

Cách 1: Cách giải toán thông thường: Vì đây là hàm đa thức có bậc tử lớn hơn bậc mẫu, nên để tìm đạo hàm một cách nhanh chóng, quý độc giả nên chia đa thức tử số cho đa thức mẫu số như sau:

Điều kiện: $x\ne 1$ $y=\frac{{{x}^{2}}+3x+1}{x+1}=x+\frac{2x+1}{x+1}$

Khi đó $y'=1+\frac{2.1-1.1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}=1+\frac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}>0\text{ }\forall x\ne -1$ .

Vậy hàm số đồng biến trên $\left( -\infty ;-1 \right)$ và $\left( -1;+\infty  \right)$

Cách 2: Dùng máy tính Casio.

Nhìn vào cách 1 ta thấy cách làm này khá nhanh, nhưng trong phòng thì nhiều khi các bạn có thể bị rối trong cách đạo hàm,…Vì thế ở đây tôi xin giới thiệu với quý độc giả một cách làm nữa sử dụng máy tính như sau: Do sau khi đạo hàm thì $y'$ có dạng $y'=\frac{a{{x}^{2}}+bx+c}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}$

Nhập vào máy tính: $\frac{d}{dx}\left( \frac{{{x}^{2}}+3x+1}{x+1} \right)\left| \begin{matrix} {}  \\ x=100  \\ \end{matrix}{{.101}^{2}} \right.$. Ẩn = (Lý giải vì sao lại nhân với ${{101}^{2}}$: là do ta đã gán cho $x=100$ nên ${{\left( x+1 \right)}^{2}}={{101}^{2}}$. Mục đích của ta là đi tìm biểu thức tử số của đạo hàm nên ta có tử số đạo hàm $=y'.{{\left( x+1 \right)}^{2}}$

Khi đó máy hiện kết quả

$10202=10202={{x}^{2}}+2x+2$ $\Rightarrow y'=\frac{{{x}^{2}}+2x+2}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}=1+\frac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}$

Quay lại như cách 1.

Chú ý: Nhiều độc giả không nhớ rõ lí thuyết nên bối rối giữa ý A và B. Nhưng hãy nhớ kĩ trong chương trình 12 chúng ta chỉ học đồng biến, nghịch biến trong một khoảng , một đoạn (nửa khoảng, nửa đoạn) mà không có trên một tập giá trị nhé.