Phân tích:

Đề bài chỉ cho ta dữ kiện về hàm số, từ đó ta phải đi tìm 2 tiệm cận của đồ thị hàm số. Như ở đề số 2 của sách, tôi đã chỉ cho quý độc giả cách tìm nhanh tiệm cận khi đề cho hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất rồi.

Điều kiện: $x\ne \frac{-3}{2}$

TCN: $y=\frac{1}{2}\left( {{d}_{1}} \right);$ TCĐ: $x=\frac{-3}{2}\left( {{d}_{2}} \right)$

Gọi $M\left( {{x}_{0}};\frac{{{x}_{0}}+1}{2{{x}_{0}}+3} \right)$ là điểm nằm trên đồ thị (C). Khi đó $d\left( M;{{d}_{1}} \right)=\frac{\left| 0.{{x}_{0}}+\frac{{{x}_{0}}+1}{2{{x}_{0}}+3}-\frac{1}{2} \right|}{\sqrt{{{0}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\left| \frac{-1}{4{{x}_{0}}+6} \right|={{d}_{1}}$$d\left( M;{{d}_{2}} \right)=\frac{\left| {{x}_{0}}+\frac{3}{2} \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{0}^{2}}}}=\frac{\left| 2{{x}_{0}}+3 \right|}{2}={{d}_{2}}$

Ta có ${{d}_{1}}+{{d}_{2}}=\frac{\left| 2{{x}_{0}}+3 \right|}{2}+\frac{1}{2\left| 2{{x}_{0}}+3 \right|}$

Đến đây ta có thể nghĩ ngay đến BĐT  quen thuộc, BĐT Cauchy.

Áp dụng BĐT Cauchy ta có $\frac{\left| 2{{x}_{0}}+3 \right|}{2}+\frac{1}{2\left| 2{{x}_{0}}+3 \right|}\ge 2\sqrt{\frac{1}{2}.\frac{1}{2}}=1$

Dấu bằng xảy ra khi  $\frac{\left| 2{{x}_{0}}+3 \right|}{2}=\frac{1}{2\left| 2{{x}_{0}}+3 \right|}$$\Leftrightarrow {{\left( 2{{x}_{0}}+3 \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=-1\Rightarrow M\left( -1;0 \right)  \\ x=-2\Rightarrow M\left( -2;1 \right)  \\ \end{matrix} \right.$

Phân tích sai lầm:  Nhiều độc giả dễ bị nhầm lẫn khi tính khoảng cách giữa điểm M đến 2 đường tiệm cận. Khi thấy $y=\frac{1}{2}$ chẳng hạn, độc giả sẽ bối rối không biết áp dụng công thức tính khoảng cách như thế nào.

Ta áp dụng công thức tính khoảng cách bt thôi các bạn nhé. Ta có $y=\frac{1}{2}\Leftrightarrow 0.x+y-\frac{1}{2}=0$ .

Vậy công thức tính khoảng cách ở đây là  $d=\frac{\left| {{x}_{M}}.0+{{y}_{M}}-\frac{1}{2} \right|}{\sqrt{{{0}^{2}}+{{1}^{2}}}}$ . Trong khi làm bài thi vì tâm lý của quý độc giả rất căng thẳng nên nhiều khi các dạng đường thẳng biến tấu sẽ làm các bạn bỡ ngỡ đôi chút. Vì thế hãy luyện tập thật kĩ để có một kết quả xứng đáng nhé !