Đây là bài toán khá trừu tượng và khó tưởng tượng, có thể coi đây là bài toán đạt điểm tuyệt đối trong đề này, trước khi làm bài toán này tôi xin cung cấp cho quý độc giả một kiến thức đã học ở phần II, Bài 3, chương III (trang 117) sách giáo khoa giải tích cơ bản như sau:

Ta thừa nhận công thức: $V=\int\limits_{a}^{b}{S(x)dx}$  (*)

Trong đó S(x) là diện tích của thiết diện của vật thể V. Thiết diện này vuông góc với trục Ox

 tại $x\in \left[ a;b \right]$với a, b là các cận ứng với hai mặt phẳng song song và vuông góc với trục Ox,

giới hạn vật thể V.

Việc nắm giữ vững công thức (*) giúp quý độc giả có thể tính được thể tích của vật thể mà đề bài đã yêu cầu, cụ thể như sau:

Ta sẽ gắn hệ trục tọa độ Oxyz vào vật thể này, tức là ta sẽ đi tính thể tích vật thể V giới hạn bởi hai mặt trụ: x² + y² = a² và x² + z² =a² (a>0)

Hình vẽ trên mô tả một phần tám thứ nhất của vật thể này, với mỗi x∈[0;a] , thiết diện của vật thể (vuông góc với trục Ox) tại x là một hình vuông có cạnh $y=\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}$ (chính là phần gạch chéo trong hình vẽ). Do đó diện tích thiết diện sẽ là:

 $S(x)=\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}.\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}={{a}^{2}}-{{x}^{2}}$  $x\in \left[ 0;a \right]$.

Khi đó áp dụng công thức (*) thì thể tích vật thể cần tìm sẽ bằng:

$V=8\int\limits_{0}^{a}{S(x)dc=}8\int\limits_{0}^{a}{(}{{a}^{2}}-{{x}^{2}})dx=8\left( {{a}^{2}}x-\frac{{{x}^{3}}}{3} \right)\left| \begin{matrix}  a  \\  0  \\ \end{matrix}=\frac{16{{a}^{3}}}{3} \right.$