Phân tích: Bài toán đặt ra cho quý độc giả khá nhiều giả thiết: hàm số, trục tung, tiếp tuyến tại điểm uốn.

Bước đầu tiên: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn:

1. Tìm điểm uốn: $y'=3{{x}^{2}}-12x+9;$ $y''=\left( y' \right)'=\left( 3{{x}^{2}}-12x+9 \right)'=6x-12$ $y''=0\Leftrightarrow x=2\Rightarrow $ điểm uốn $I\left( 2;2 \right)$


2. Tìm phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn $y=y'\left( 2 \right)\left( x-2 \right)+2=-3\left( x-2 \right)+2$$=-3x+8$


3. Viết CT tính diện tích hình phẳng.

Ta có đồ thị sau:

Trong khi làm bài thi ta không cần vẽ đồ thị, nhưng ở đây, tôi vẫn vẽ đồ thị để quý độc giả có thể hiểu rõ ràng bản chất của bài toán:

Với bài toán tổng quát dạng: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

$y=f\left( x \right);y=g\left( x \right);x=0;x=a$, với $a>0$ thì ${{S}_{p}}=\int\limits_{0}^{a}{\left| f\left( x \right)-g\left( x \right) \right|}dx$

Ở đây ta có:

Hình phẳng được giới hạn bởi $y=f\left( x \right);y=-3x+8;x=0;x=2$

(Vì sao tìm được cận 2 thì đó là do ta xét phương trình hoành độ giao điểm của $f\left( x \right)$ và tiếp tuyến).

Khi đó: ${{S}_{P}}=\int\limits_{0}^{2}{\left| {{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x-\left( -3x+8 \right) \right|}dx$

Mà nhìn vào đồ thị ta tháy rõ rằng trên $\left[ 0;2 \right]$ thì $-3x+8\ge {{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x.$

Do đó ${{S}_{P}}=\int\limits_{0}^{2}{\left( -{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-12x+8 \right)}dx$ .

Cách làm nhanh: Khi đi thi quý độc giả không thể có đủ thời gian để ngồi vẽ đồ thị như tôi vừa giải thích kĩ lưỡng ở trên. Chúng ta có thể vừa làm nhanh như sau:

Sau khi dã viết được phương trình tiếp tuyến. Ta bấm máy tính với một giá trị của $x\in \left[ 2;0 \right]$ xem hàm số nào lớn hơn trên đoạn đang xét. Từ đó phá trị tuyệt đối. Đây là mẹo làm bài, chỉ áp dụng tùy bài thôi nhé.