Phân tích: Ta cùng nhắc lại kiến thức về tiệm cận ngang như sau:

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định trên một khoảng vô hạn. Đường thẳng $y={{y}_{0}}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ nếu một trong các điều kiện sau thỏa mãn:

$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)={{y}_{0}},\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)={{y}_{0}}$

Lúc này ta xét

$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x+1}{\sqrt{m{{x}^{2}}+1}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1+\frac{1}{x}}{\sqrt{m+\frac{1}{{{x}^{2}}}}}=\frac{1}{\sqrt{m}}$

$\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x+1}{\sqrt{m{{x}^{2}}+1}}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1+\frac{1}{x}}{-\sqrt{m+\frac{1}{{{x}^{2}}}}}=-\frac{1}{\sqrt{m}}$

Lúc này ta thấy để đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang thì không tồn tại thì $\frac{1}{\sqrt{m}};-\frac{1}{\sqrt{m}}$ không xác định $\Leftrightarrow m\le 0$. Đáp án A.