Phân tích: Ta xét đạo hàm của hàm số:

$f'\left( x \right)=\left( \frac{{{e}^{x}}+{{e}^{-x}}}{{{e}^{x}}-{{e}^{-x}}} \right)$. Ta áp dụng công thức đạo hàm như sau:

$\left( \frac{u}{v} \right)=\frac{u'v-v'u}{{{v}^{2}}}$

Khi đó

$\left( \frac{{{e}^{x}}+{{e}^{-x}}}{{{e}^{x}}-{{e}^{-x}}} \right)'=\frac{\left( {{e}^{x}}-{{e}^{-x}} \right)\left( {{e}^{x}}-{{e}^{-x}} \right)-\left( {{e}^{x}}+{{e}^{-x}} \right)\left( {{e}^{x}}+{{e}^{-x}} \right)}{{{\left( {{e}^{x}}-{{e}^{-x}} \right)}^{2}}}$

$=\frac{-2{{e}^{x}}.{{e}^{-x}}-2{{e}^{x}}.{{e}^{-x}}}{{{\left( {{e}^{x}}-{{e}^{-x}} \right)}^{2}}}=\frac{-4}{{{\left( {{e}^{x}}-{{e}^{-x}} \right)}^{2}}}$