Phân tích: Thực chất đây là bài toán tìm nguyên hàm. Ta có thể dễ dàng nhận thấy: bài toán cho

đạo hàm của một hàm số, công việc của chúng ta là đi tìm nguyên hàm:

$\int{90\left( t+6 \right)\sqrt{{{t}^{2}}+12tdt}}=45\int{\sqrt{{{t}^{2}}+12t}d\left( {{t}^{2}}+12t \right)}$

$=45\int{{{\left( {{t}^{2}}+12t \right)}^{\frac{1}{2}}}d\left( {{t}^{2}}+2t \right)}$

$=45.\frac{1}{1+\frac{1}{2}}{{\left( {{t}^{2}}+12t \right)}^{1+\frac{1}{2}}}$

$=30.\sqrt{{{\left( {{t}^{2}}+12t \right)}^{3}}}$

Vì đến năm thứ tư công ty đã chịu 1610640 tiền nợ  nần nên số tiền mà công ty vay năm đầu sẽ được tính

$1610640-30\sqrt{{{\left( {{4}^{2}}+12.4 \right)}^{3}}}=1595280$

Vậy công thức tính tiền nợ nần sẽ như sau:

$D\left( t \right)=30\sqrt{{{\left( {{t}^{2}}+12t \right)}^{3}}}+1595280$

Phân tích sai lầm: Nhiều quý độc giả khi tìm ra được nguyên hàm của hàm số sẽ cộng thêm C luôn như bài toán tìm nguyên hàm bình thường. Tuy nhiên ở đây khoản nợ vay ban đầu đã cố

định, tức là hằng số C đã cố định. Ta cần tìm hằng số để cộng thêm vào công thức.

Sai lầm thứ hai: Nhiều quý độc giả cộng luôn với 1610640 luôn nên dẫn đến sai lầm.

Sai lầm thứ ba: Không nhớ công thức ${{a}^{\frac{m}{n}}}=\sqrt[n]{{{a}^{m}}}$