Phân tích: Đây là dạng tính tích phân từng phần, tuy nhiên có hai cách làm dạng bài này, cách làm thứ nhất là tính bình thường. Cách làm thứ hai là bấm máy tính và thử (cách làm này khá đơn giản, quý độc giả chỉ cần ấn máy tính và xem nó là kết quả  nào và chọn,  rất đơn giản  nên  tôi  xin  phép không giới thiệu ở đây nữa. )

Sau đây tôi xin giới thiệu cách làm theo toán học thông thường:

$I=\int\limits_{1}^{e}{\frac{\ln x}{{{x}^{2}}}dx}$ Đặt $\left\{ \begin{align} & \ln x=u\to du=\frac{1}{x}dx \\ & \frac{dx}{{{x}^{2}}}=dv\Rightarrow v=-\frac{1}{x} \\ \end{align} \right.$

Khi đó $I=\left. -\frac{1}{x}.\ln x \right|_{1}^{e}-\int\limits_{1}^{e}{-\frac{1}{x}.\frac{1}{x}dx}$

$=\left( -\frac{1}{e}.\operatorname{lne} \right)-\left( -\frac{1}{1}.\ln 1 \right)+\int\limits_{1}^{e}{\frac{1}{{{x}^{2}}}dx}$

$=\frac{-1}{e}+\left. \left( -\frac{1}{x} \right) \right|_{1}^{e}=\frac{-1}{e}-\frac{1}{e}+\frac{1}{1}=1-\frac{2}{e}$