Phân tích: Để biết xác định được m, n thì ta cần tìm phương trình đường thẳng AB và sau đó thay tọa độ điểm M vào tìm  m,  n.  Ta có AB  có  vtcp $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}=\left( -5;0;8 \right)$

Đường thẳng AB qua $A\left( 1;2;-3 \right)$ và có vtcp $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}=\left( -5;0;8 \right)$

$\Rightarrow AB:\left\{ \begin{align} & x=1-5t \\ & y=2 \\ & z=-3+8t \\ \end{align} \right.$

Khi đó thay tọa độ M vào thì ta được hệ:  $\left\{ \begin{align} & 1-5t=m+2 \\ & 2n-1=2 \\ & -3+8t=1 \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m=-\frac{7}{2} \\ & n=\frac{3}{2} \\ & t=\frac{1}{2} \\ \end{align} \right.$