Mặt cầu (S) có tâm $I(1;-2;-1)$ , bán kính $R=\sqrt{14}$

Vì $(Q)\parallel (P)$ nên (Q) có phương trình dạng: $(Q):2x+3y+z+d=0,d\ne -11$

Theo giả thiết (Q) cắt (S) theo một đường tròn có bán kính $r=\frac{R}{2}=\frac{\sqrt{14}}{2}$ nên ta có:

$d(I;(Q))=\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}=\sqrt{\frac{21}{2}}$ $\Leftrightarrow \frac{\left| d-3 \right|}{\sqrt{14}}=\sqrt{\frac{21}{2}}\Leftrightarrow d=3\pm 7\sqrt{3}$

Vậy có hai mặt phẳng cần tìm là:

$\begin{align} & ({{Q}_{1}}):2x+3y+z+3+7\sqrt{3}=0 \\ & ({{Q}_{2}}):2x+3y+z+3-7\sqrt{3}=0 \\ \end{align}$