Xác định N, E, D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm BC, CC’. Khi đó mp $(AIJ)\bot B'C$ . Suy ra mp (P) qua M và song song mặt phẳng mp(AIJ). Do đó $MN\parallel AI,NE\parallel \text{IJ;EF}\parallel A\text{J}$

Tính thể tích khối chóp C.MNEF. Thấy ngay ENC là góc giữa mặt phẳng (P) và mp(ABC). Tứ giác MNCA là hình chiếu vuông góc của tứ giác MNEF trên mp(ABC).

Suy ra $dt(MNEF)=\frac{dt(MNCA)}{\cos ENC}$

Ta có $ENC=\frac{\pi }{4};dt(ABC)=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$

Suy ra:

$dt(MNEF)=\frac{dt(ABC)-dt(BMN)}{\cos \frac{\pi }{4}}=\frac{\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}-\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{32}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{7\sqrt{6}{{a}^{2}}}{32}$

Mặt khác $d(C,mp(MNFEF))=\frac{3}{4}.\frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}a}{8}$

Gọi V là thể tích khối chóp C.MNEF, ta có:

$V=\frac{1}{3}.\frac{7\sqrt{6}{{a}^{2}}}{32}.\frac{3\sqrt{2}a}{8}=\frac{7\sqrt{3}{{a}^{3}}}{128}$