Đặt $x=\sin t,t\in \left[ -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right]$ . Ta có: $dx=\cos tdt$ và ta có:

 $\sqrt{1-{{x}^{2}}}=\sqrt{1-{{\sin }^{2}}t}=\sqrt{{{\cos }^{2}}t}=\left| \cos t \right|=\cos t$

Đổi cận với $\left\{ \begin{align} & x=0\Rightarrow t=0 \\ & x=1\Rightarrow t=\frac{\pi }{2} \\ \end{align} \right.$  từ đó:

$\int_{0}^{1}{\frac{dx}{1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{\cos tdt}{1+\cos t}}=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{2{{\cos }^{2}}\left( \frac{t}{2} \right)-1}{2{{\cos }^{2}}\left( \frac{t}{2} \right)}}dt$

$=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{dt-\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{d\left( \frac{t}{2} \right)}{{{\cos }^{2}}\left( \frac{t}{2} \right)}}=\left. \left( t-\tan \left( \frac{t}{2} \right) \right) \right|}_{0}^{\frac{\pi }{2}}=\frac{\pi }{2}-1$

Vậy đáp án đúng là A