Câu hỏi của Vinastudy - Hệ Thống Giáo Dục Trực Tuyến - Toán lớp Luyện thi THPQG | Học trực tuyến
0
Tính tích phân $I=\int\limits_{\frac{1}{3}}^{1}{\left[ \ln (3{{x}^{4}}+{{x}^{2}})-2\ln x \right]}dx$
Hỏi lúc: 13-12-2018 14:36
1 Trả Lời
Lưu ý khi trả lời:
- Cần có tài khoản trước khi gửi bình luận.
- Trả lời giúp bạn cũng là giúp mình.
- Trả lời theo nội dung câu hỏi không bình luận lan man lạc chủ đề.
- Gửi câu trả lời phải rõ ràng, viết tiếng Việt có dấu.
- Trả lời có đính kèm liên kết tới website khác sẽ bị ban vĩnh viễn.
- Vi phạm chính sách sẽ dẫn tới việc bị dừng tất cả dịch vụ sử dụng tại website.
-
0
Ta có:
$I=\int\limits_{\frac{1}{3}}^{1}{\left[ \ln (3{{x}^{4}}+{{x}^{2}})-2\ln x \right]}dx=\int\limits_{\frac{1}{3}}^{1}{\left[ \ln (3{{x}^{2}}+1)+\ln {{x}^{2}}-\ln {{x}^{2}} \right]}dx=\int\limits_{\frac{1}{3}}^{1}{\left[ \ln (3{{x}^{2}}+1) \right]}dx$
Đặt $\left\{ \begin{align} & u=\ln (3{{x}^{2}}+1) \\ & dv=dx \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align} & du=\frac{6xdx}{3{{x}^{2}}+1} \\ & v=x \\ \end{align} \right.$
$I=x\ln (3{{x}^{2}}+1)\left| \begin{matrix} 1 \\ \frac{1}{3} \\ \end{matrix} \right.-2\int\limits_{\frac{1}{3}}^{1}{\frac{6{{x}^{2}}dx}{3{{x}^{2}}+1}}=\frac{4\ln 2+\ln 3}{3}-J$
Với:
$J=\int\limits_{\frac{1}{3}}^{1}{\left( 2-\frac{2}{3{{x}^{2}}+1} \right)}dx=\frac{4}{3}-2\int\limits_{\frac{1}{3}}^{1}{\frac{dx}{3{{x}^{2}}+1}}=\frac{4}{3}-\frac{\pi }{3\sqrt{3}}$ (đặt $\sqrt{3}x=\tan t$ với $t\in \left( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right)$ )
$dx=\frac{1}{\sqrt{3}}(1+{{\tan }^{2}}t)dt$ đổi cận: $x=\frac{1}{3}\Rightarrow t=\frac{\pi }{6};x=1\Rightarrow t=\frac{\pi }{3}$ . Từ đó tính được:
$J=\frac{4}{3}-\frac{\pi }{3\sqrt{3}}\Rightarrow I=\frac{4\ln 2+\ln 3}{3}-\frac{4}{3}+\frac{\pi \sqrt{3}}{9}$
Vậy đáp án đúng là C
Trả lời lúc: 13-12-2018 15:59