Ta có:

$I=\int\limits_{\frac{1}{3}}^{1}{\left[ \ln (3{{x}^{4}}+{{x}^{2}})-2\ln x \right]}dx=\int\limits_{\frac{1}{3}}^{1}{\left[ \ln (3{{x}^{2}}+1)+\ln {{x}^{2}}-\ln {{x}^{2}} \right]}dx=\int\limits_{\frac{1}{3}}^{1}{\left[ \ln (3{{x}^{2}}+1) \right]}dx$

Đặt $\left\{ \begin{align} & u=\ln (3{{x}^{2}}+1) \\ & dv=dx \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align} & du=\frac{6xdx}{3{{x}^{2}}+1} \\ & v=x \\ \end{align} \right.$

$I=x\ln (3{{x}^{2}}+1)\left| \begin{matrix} 1  \\ \frac{1}{3}  \\ \end{matrix} \right.-2\int\limits_{\frac{1}{3}}^{1}{\frac{6{{x}^{2}}dx}{3{{x}^{2}}+1}}=\frac{4\ln 2+\ln 3}{3}-J$

Với:

$J=\int\limits_{\frac{1}{3}}^{1}{\left( 2-\frac{2}{3{{x}^{2}}+1} \right)}dx=\frac{4}{3}-2\int\limits_{\frac{1}{3}}^{1}{\frac{dx}{3{{x}^{2}}+1}}=\frac{4}{3}-\frac{\pi }{3\sqrt{3}}$ (đặt $\sqrt{3}x=\tan t$ với $t\in \left( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right)$ )

$dx=\frac{1}{\sqrt{3}}(1+{{\tan }^{2}}t)dt$  đổi cận: $x=\frac{1}{3}\Rightarrow t=\frac{\pi }{6};x=1\Rightarrow t=\frac{\pi }{3}$ . Từ đó tính được:

$J=\frac{4}{3}-\frac{\pi }{3\sqrt{3}}\Rightarrow I=\frac{4\ln 2+\ln 3}{3}-\frac{4}{3}+\frac{\pi \sqrt{3}}{9}$

Vậy đáp án đúng là C