Câu hỏi của Vinastudy - Hệ Thống Giáo Dục Trực Tuyến - Toán lớp Luyện thi THPQG | Học trực tuyến
0
Cho z1 ;z2 ;z3 ;z4 là bốn nghiệm của phương trình ${{\left( \frac{z-1}{2z-i} \right)}^{4}}=1$
Tính giá trị của biểu thức $T=({{z}_{1}}^{2}+1)({{z}_{2}}^{2}+1)({{z}_{3}}^{2}+1)({{z}_{4}}^{2}+1)$
Hỏi lúc: 13-12-2018 14:36
1 Trả Lời
Lưu ý khi trả lời:
- Cần có tài khoản trước khi gửi bình luận.
- Trả lời giúp bạn cũng là giúp mình.
- Trả lời theo nội dung câu hỏi không bình luận lan man lạc chủ đề.
- Gửi câu trả lời phải rõ ràng, viết tiếng Việt có dấu.
- Trả lời có đính kèm liên kết tới website khác sẽ bị ban vĩnh viễn.
- Vi phạm chính sách sẽ dẫn tới việc bị dừng tất cả dịch vụ sử dụng tại website.
-
0
Đây là một bài toán số phức ở mức độ vận dụng cao khá hay và khó. Để giải quyết cần sự tinh ý và cẩn thận trong từng bước giải.
Từ phương trình ${{\left( \frac{z-1}{2z-i} \right)}^{4}}=1$ , ta suy ra
${{(2z-i)}^{4}}-{{(z-i)}^{4}}=0$
Đặt $f(z)={{(2z-i)}^{4}}-{{(z-i)}^{4}}$
$=15(z-{{z}_{1}})(z-{{z}_{2}})(z-{{z}_{^{3}}})(z-{{z}_{4}})$
Vì ${{i}_{2}}=-1~\Rightarrow {{z}^{2}}+1={{z}^{2}}-{{i}^{2}}=\left( z-i \right)\left( z+i \right)$
$\Rightarrow T=\left[ ({{z}_{1}}-i)({{z}_{2}}-i)({{z}_{3}}-i)({{z}_{4}}-i) \right]$
$\left[ ({{z}_{1}}+i)({{z}_{2}}+i)({{z}_{3}}+i)({{z}_{4}}+i) \right]$
$\Leftrightarrow T=\left[ (i-{{z}_{1}})(i-{{z}_{2}})(i-{{z}_{3}})(i-{{z}_{4}}) \right]$
$\left[ (-i-{{z}_{1}})(-i-{{z}_{2}})(-i-{{z}_{3}})(-i-{{z}_{4}}) \right]$
$\Leftrightarrow T=\frac{f(i)}{15}.\frac{f(-i)}{15}=\frac{f(i).f(-i)}{225}$
Tính các giá trị $f(i);f(-i)$
$\left. \begin{align} & f(i)={{(2i-i)}^{4}}-{{(i-1)}^{4}}={{i}^{4}}-{{(i-1)}^{4}}=5 \\ & f(-i)={{(-2i-i)}^{4}}-{{(-i-1)}^{4}}=85 \\ \end{align} \right\}$ $\Rightarrow T=\frac{5.85}{225}=\frac{17}{9}$
Nhận xét: Đối với bài toán này, có lẽ Casio hay Vinacal cũng “bó tay”. Một số bạn thì có hướng làm đúng nhưng lại chọn đáp án C vì ngay từ đầu khi đặt F(z) đã không có hệ số 15 ở đâu.
Trả lời lúc: 13-12-2018 15:59