Câu hỏi của Vinastudy - Hệ Thống Giáo Dục Trực Tuyến - Toán lớp Luyện thi THPQG | Học trực tuyến
0
Cho D là miền phẳng giới hạn bởi các đường :$y=f(x)=\frac{1}{1+{{x}^{2}}}$ ; $y=g(x)=\frac{{{x}^{2}}}{2}$.Tính thể tích khối tròn xoay thu được tạo thành khi quay D quanh trục Ox ? Thể tích được viết dưới dạng $T=m{{\pi }^{2}}+n\pi $ ;m,n$\in $ R thì tổng giá trị $m+n$ là ?
Hỏi lúc: 13-12-2018 14:36
1 Trả Lời
Lưu ý khi trả lời:
- Cần có tài khoản trước khi gửi bình luận.
- Trả lời giúp bạn cũng là giúp mình.
- Trả lời theo nội dung câu hỏi không bình luận lan man lạc chủ đề.
- Gửi câu trả lời phải rõ ràng, viết tiếng Việt có dấu.
- Trả lời có đính kèm liên kết tới website khác sẽ bị ban vĩnh viễn.
- Vi phạm chính sách sẽ dẫn tới việc bị dừng tất cả dịch vụ sử dụng tại website.
-
0
Xét phương trình $\frac{1}{1+{{x}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}}{2}\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=1 \\ & x=-1 \\ \end{align} \right.$
Như vậy, thể tích cần tìm sẽ được tính theo công thức: $V=\pi \int\limits_{-1}^{1}{\left| {{f}^{2}}(x)-{{g}^{2}}(x) \right|}dx$
$V=\pi \int\limits_{-1}^{1}{\left| {{\left( \frac{1}{1+{{x}^{2}}} \right)}^{2}}-\frac{{{x}^{4}}}{4} \right|}dx=\pi \left| \int\limits_{-1}^{1}{\frac{1}{{{\left( 1+{{x}^{2}} \right)}^{2}}}dx}-\int\limits_{-1}^{1}{\frac{{{x}^{4}}}{4}}dx \right|$
$\pi \left| \int\limits_{-1}^{1}{\frac{1}{{{\left( 1+{{x}^{2}} \right)}^{2}}}dx}-\left. \frac{{{x}^{5}}}{20} \right|_{-1}^{1} \right|=\pi \left| \int\limits_{-1}^{1}{\frac{1}{{{\left( 1+{{x}^{2}} \right)}^{2}}}dx}-\frac{1}{10} \right|$
$V=\pi \left| I-\frac{1}{10} \right|$ với $I=\int\limits_{-1}^{1}{\frac{1}{{{\left( 1+{{x}^{2}} \right)}^{2}}}dx}$
Tính I: Đặt $x=\tan t,t\in \left( \frac{-\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right)$
$dx=\frac{1}{{{\cos }^{2}}t}dt=(1+{{\tan }^{2}}t)dt$
Ta có thể viết I lại dưới dạng
$I=\int\limits_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{1+{{\tan }^{2}}t}{{{\left( 1+{{\tan }^{2}}t \right)}^{2}}}dt}=\int\limits_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}{{{\cos }^{2}}tdt}=\frac{1}{2}\int\limits_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}{(1+\cos 2t)dt}$
$\Rightarrow I=\frac{\pi }{4}+\frac{1}{2}V=\pi \left| \frac{\pi }{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{10} \right|=\frac{{{\pi }^{2}}}{4}+\frac{2\pi }{5}$
Nhận xét: Đây là một bài toán khá khó, đòi hỏi thí sinh phải biết đúng công thức và việc xử lí tích phân khéo léo.
Trả lời lúc: 13-12-2018 15:59