Đây là một bài toán tuy không quá khó nhưng đòi hỏi khả năng biến đổi chính xác.

Tập xác định $D=\left[ -2;5 \right]$

$f'(x)=-\frac{x-2}{\sqrt{-{{x}^{2}}+4x+21}}+\frac{2x-3}{2\sqrt{-{{x}^{2}}+3x+10}}$

$f'(x)=0\Leftrightarrow \frac{2x-3}{2\sqrt{-{{x}^{2}}+3x+10}}=\frac{x-2}{\sqrt{-{{x}^{2}}+4x+21}}(*)$

Đến đây chúng ta có thể sử dụng chức năng SHIFT SOLVE của máy tính để tìm nghiệm. Dưới đây chúng tôi sẽ trình bày cả hướng sử dụng và cả giải đầy đủ.

SD Máy tính: Nhập màn hình biểu thức $\frac{2x-3}{2\sqrt{-{{x}^{2}}+3x+10}}=\frac{x-2}{\sqrt{-{{x}^{2}}+4x+21}}$. Bấm SHIFT SOLVE

sau đó ấn một số bất kì và ấn =. Màn hình cho kết quả $x=0,3333333333$  tức $x=\frac{1}{3}$ .

Thử với các giá trị khác nhau trên $D=\left[ -2;5 \right]$ta đều thu được kết quả $x=0,3333333333$

Thử lại ta thấy $f'\left( \frac{1}{3} \right)=0$

So sánh các giá trị $f(-2);f(5)$và $f\left( \frac{1}{3} \right)$ta thấy min$f(x)=f\left( \frac{1}{3} \right)=\sqrt{2}$

Tuy nhiên cách làm này còn nhiều hạn chế vì chúng ta chưa thể chắc chắn tìm được hết nghiệm của phương trình $f'\left( x \right)=0$

Biến đổi thông thường:

$(*)\Rightarrow \frac{{{x}^{2}}-4x+4}{-{{x}^{2}}+4x+21}=\frac{4{{x}^{2}}-12x+9}{4(-{{x}^{2}}+3x+10)}$

$\Rightarrow 4({{x}^{2}}-4x+4)(-{{x}^{2}}+3x+10)=(4{{x}^{2}}-12x+9)\left( -{{x}^{2}}+4x+21 \right)$

$\Leftrightarrow 51{{x}^{2}}-104x+29=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{1}{3} \\ & x=\frac{29}{17} \\ \end{align} \right.$

Thử lại chỉ có $x=\frac{1}{3}$ là nghiệm.

So sánh các giá trị $f(-2);f(5)$và $f\left( \frac{1}{3} \right)$ta thấy min$f(x)=f\left( \frac{1}{3} \right)=\sqrt{2}$