Ta có: ${{V}_{QBMN}}=\frac{1}{3}.d\left( Q;\left( BMN \right) \right).{{S}_{BMN}}\left( 1 \right)$ . Rõ ràng ta nhận thấy hình tứ diện QBMN và hình hộp $ABCDA'B'C'D'$ có chiều cao bằng nhau. Nên ta chỉ đi tìm tỉ lệ $\frac{{{S}_{BMN}}}{{{S}_{ABCD}}}$ .

Ta có ${{S}_{ABCD}}={{S}_{DMN}}+{{S}_{ABM}}+{{S}_{BNC}}+{{S}_{BMN}}$

$\Rightarrow {{S}_{BMN}}={{S}_{ABCD}}={{S}_{DMN}}-{{S}_{AMB}}-{{S}_{BNC}}$

Mặt khác ta có $\frac{{{S}_{DMN}}}{{{S}_{ABCD}}}=\frac{{{S}_{DMN}}}{2{{S}_{ADC}}}=\frac{1}{2}.\frac{1}{4}=\frac{1}{8};$$\frac{{{S}_{ABM}}}{{{S}_{ABCD}}}=\frac{{{S}_{ABM}}}{2{{S}_{ABD}}}=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$

Tương tự thì $\frac{{{S}_{BNC}}}{{{S}_{ABCD}}}=\frac{1}{4}$

Khi đó $SBMN=\left( 1-\frac{1}{8}-\frac{1}{4}-\frac{1}{4} \right){{S}_{ABCD}}$ $\Leftrightarrow \frac{{{S}_{BMN}}}{{{S}_{ABCD}}}=\frac{3}{8}\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{{{V}_{QBMN}}}{_{ABCD}}=\frac{1}{3}.\frac{3}{8}=\frac{1}{8}$ $\Rightarrow {{V}_{QBMN}}=\frac{V}{8}$