Đây là một bài toán sử dụng phương pháp tọa độ hóa. Đối với việc tọa độ hóa. Đối với việc tọa độ hóa này việc quan trọng nhất đó là sự cẩn thận và chính xác.

Trọn hệ trục tọa độ Axyz với $A(0;0;0);B(a;0;0);A'(0;0;a);D(0;a;0).$

Gọi $M(0;0;m)$ và $N(a;n;0)$

Ta có $(ADD'A')//(BCC'C')$

$\left( MD'NC \right)$ cắt $\left( ADD'A' \right)$ theo giao tuyến $MD'$ và cắt $(BCC'B')$ theo giao tuyến $CN$ do đó $MD'//CN$

Lại có $\overrightarrow{MD'}=(0;a;a-m);\overrightarrow{NC'}=(0;a-n;a)$

Suy ra $\frac{a}{a-n}=\frac{a-m}{a}\Rightarrow m=\frac{an}{n-a}$

Có $M{{N}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{N}^{2}}+A{{M}^{2}}={{a}^{2}}+{{m}^{2}}+{{n}^{2}}$

$\Leftrightarrow M{{N}^{2}}={{\left( \frac{an}{n-a} \right)}^{2}}+{{n}^{2}}+{{a}^{2}}={{\left( \frac{{{n}^{2}}-an+{{a}^{2}}}{n-a} \right)}^{2}}\Leftrightarrow MN=\frac{{{n}^{2}}-an+{{a}^{2}}}{n-a}$

Xét hàm số $f(n)=\frac{{{n}^{2}}-an+{{a}^{2}}}{n-a}$trên $\left[ 0;+\infty  \right)$

Ta được MN đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3a khi $n=2a$

Nhận xét: Đây là một câu hỏi hay và khá khó, đòi hỏi khả năng tư duy cao của thí sinh