Đây là một bài toán khá điển hình của hình học không gian. Mấu chốt của bài toán nằm ở việc lấy thêm điểm để tính toán.

Lấy 3 điểm M, N, P lần lượt thuộc đoạn AB, AC, AD sao cho $AM=AN=AP=a$ . Suy ra tứ diện $AMNP$ là tứ diện đều có độ dài các cạnh là a. Đến đây bài toán trở về dạng đơn giản. Ta dễ dàng tính được thể tích $AMNP$ bằng $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}$

Lại có: $\frac{{{V}_{ABCD}}}{{{V}_{AMNP}}}=\frac{AB}{AM}.\frac{AC}{AN}.\frac{AD}{AP}=2.3.4=24\Rightarrow {{V}_{ABCD}}=24{{V}_{AMNP}}=2{{a}^{3}}\sqrt{2}$