Để tính được thể tích của khối tròn xoay dựa trên ứng dụng của tích phân ta cần đi tìm hai cận a, b bằng việc tìm nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm:

$2-{{x}^{2}}=1\Leftrightarrow {{x}^{2}}=1\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=1 \\ & x=-1 \\ \end{align} \right.$

Ta có thể tính thể tích của khối tròn xoay giới hạn bởi $\left\{ \begin{align} & y=2-{{x}^{2}};y=1 \\ & x=1;x=-1 \\ \end{align} \right.$ được tính bằng công thức $\pi \int\limits_{-1}^{1}{\left| {{\left( 2-{{x}^{2}} \right)}^{2}}-{{1}^{2}} \right|dx}=\pi \int\limits_{-1}^{1}{\left| {{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+3 \right|dx}$

Đến đây ta có thể làm theo hai cách:

Cách 1: Bấm máy tính

Chọn nút $\int_{\square }^{\square }{\square }$ trên máy tính và nhập vào biểu thức tính tích phân vào.

Chú ý trên máy tính CASIO fx-570VN PLUS thì giá trị tuyệt đối chính là nút Abs (Absolute), chính là kí hiệu màu vàng ở bên nút Hyperbol được bấm bằng cách ấn nút SHIFT + Hyperbol sau khi nhập vào máy tính sẽ hiện kết quả như sau:

Vậy kết quả của chúng ta là $V=\frac{56}{15}\pi $ đvtt

Cách 2: Giải tích về mặt toán học:

Để bỏ được dấu trị tuyệt đối trong tích phân, ta cần xét khoảng rồi áp dụng công thức sau trong tích phân:

$\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{a}^{c}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{c}^{b}{f\left( x \right)dx}$

Nhận thấy: tuy nhiên ở đây, hàm số $g\left( x \right)={{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+3$ luôn lớn hơn 0 với mọi $x\in \left[ -1;1 \right]$

Khi đó $V=\pi \int\limits_{-1}^{1}{\left| g\left( x \right)dx \right|}=\pi \int\limits_{-1}^{1}{g\left( x \right)dx}$

$=\pi \int\limits_{-1}^{1}{\left( {{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+3 \right)dx}$

$=\left. \pi \left( \frac{1}{5}{{x}^{5}}-\frac{4}{3}{{x}^{3}}+3x \right) \right|_{-1}^{1}=\frac{56}{15}\pi $