Vì bài toán liên quan đến biểu diễn số phức nên ta sẽ đặt $z=x+iy\,\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$

Khi đó $\frac{1}{z-i}=\frac{1}{x+i\left( y-1 \right)}=\frac{x-i\left( y-1 \right)}{{{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}}$

$=\frac{x}{{{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}}-\frac{y-1}{{{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}}i$

Khi đó để $\frac{1}{z-i}$ là số thuần ảo thì

$\left\{ \begin{align} & \frac{x}{{{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}}=0 \\ & \frac{y-1}{{{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}}\ne 0 \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=0 \\ & y\ne 1 \\ \end{align} \right.$

Vậy đáp án của ta là A.