Ta có

$I=\int\limits_{1}^{4}{\left( \left| f(x)+g(x) \right|+\left| f(x) \right.-\left. g(x) \right| \right)}dx$$=\int\limits_{1}^{4}{\left( \left| {{x}^{2}}+2x-3 \right|+\left| -{{x}^{2}}+2x+3 \right| \right)}dx$

Do ${{x}^{2}}+2x-3\ge 0\forall x\in \text{ }\!\![\!\!\text{ 1;4 }\!\!]\!\!\text{ }$

            $-{{x}^{2}}+2x+3\ge 0\forall x\in \text{ }\!\![\!\!\text{ 1;3 }\!\!]\!\!\text{ }$

            $-{{x}^{2}}+2x-3<0\forall x\in \text{ }\!\![\!\!\text{ 3;4 }\!\!]\!\!\text{ }$

$\Rightarrow \text{I=}\int\limits_{1}^{4}{\left( {{x}^{2}}+2x-3 \right)}dx+\int\limits_{1}^{3}{\left( -{{x}^{2}}+2x+3 \right)}dx+\int\limits_{3}^{4}{\left( {{x}^{2}}-2x-3 \right)}dx$

$=\left. \left( \frac{{{x}^{3}}}{3}+{{x}^{2}}-3x \right) \right|_{1}^{4}+\left. \left( \frac{-{{x}^{3}}}{3}+{{x}^{2}}+3x \right) \right|_{1}^{3}+\left. \left( \frac{{{x}^{3}}}{3}-{{x}^{2}}-3x \right) \right|_{3}^{4}$$=27+\frac{16}{3}+\frac{7}{3}=\frac{104}{3}$

Đáp án đúng là D

Sai lầm thường gặp: Ở bài toán tích phân biểu thức trong dấu trị tuyệt đối này ta cần phải xét khoảng để biểu thức trong dấu trị tuyệt dối lớn hơn 0 hay nhỏ hơn – để phá dấu trị tuyết đối ra. Vì thế có rất nhiều bạn sai ở bước xét khoảng này nên sẽ dễ ra kết quả sai như các phương án A,B,C