Phân tích : Bài toán này sẽ rất khó nếu cứ theo lối đường cũ. Tuy nhiên chỉ cần tinh ý một chút ta sẽ thấy ngay!

Đây là hàm bậc ba nên rõ rang điểm uốn là tâm đối xứng. miền đang xét là đối xứng

thì hai diểm lớn nhất và nhỏ  nhất của hàm số sẽ đối xứng với nhau qua điểm uốn. (Tham khảo hình vẽ)

Do đó, ta có:

$\begin{align} & y={{x}^{3}}+\text{ }3{{x}^{2}}+\left( m+2 \right)x\text{ }+m+3 \\ & =>\text{ }y\text{ }=\text{ }3{{x}^{2}}+6x\text{ }+\text{ }\left( m+2 \right)\text{ }=>y\text{ }=\text{ }6x\text{ }+6y\text{ } \\ & y=\text{ }0\Leftrightarrow x\text{ }=\text{ }-1\text{ }=>y\text{ }=3 \\ \end{align}$

Dễ thấy:

$(1-2m)+\left( 2m-3 \right)=-2$=>$\frac{{{y}_{\text{max}}}+{{y}_{\min }}}{2}=\frac{2.3}{2}=3$

Vậy đáp án đúng là B.

Nhận xét: Đôi khi bài toán chỉ cần chút tinh tế có thể khiến việc tính toán phức tạp thành đơn giản rất nhiều !!!