Ta có:

$SA\bot AB,\,SA\bot AC,\,BC\bot AB,\,BC\bot SA$

Suy ra, $BC\bot \left( SAB \right)$ nên: $BC\bot SB$

Do đó, tứ diện S.ABC có 4 mặt đều là các tam giác vuông.

Ta có: AB là hình chiếu của SB lên (ABC) nên $SBA={{60}^{0}}$

$\tan SBA=\frac{SA}{AB}\Rightarrow AB=\frac{SA}{\tan SBO}=\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=a\,\left( =BC \right)$

$AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=a\sqrt{2}$

$SB=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}=\sqrt{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}=2a$

Do đó ta có:

${{S}_{TP}}={{S}_{\Delta SAB}}+{{S}_{\Delta SAC}}+{{S}_{\Delta ABC}}$

$=\frac{1}{2}\left( SA.AB+SB.BC+SA.AC+AB.BC \right)$

$=\frac{1}{2}\left( a\sqrt{3}.a+2a.a+a\sqrt{3}.a\sqrt{2}+a.a \right)=\frac{3+\sqrt{3}+\sqrt{6}}{2}.{{a}^{2}}$

Vậy đáp án cần tìm là A.