Ta có:

$\int{{{e}^{x}}\cos xdx}={{e}^{x}}\sin x-\int{{{e}^{x}}\sin xdx}$

$\int{{{e}^{x}}\sin xdx}=-{{e}^{x}}\cos x+\int{{{e}^{x}}\cos xdx}$

Do đó ta có:

$\int{{{e}^{x}}\cos xdx}={{e}^{x}}\sin x+{{e}^{x}}\cos x-\int{{{e}^{x}}\cos xdx}$

$\Rightarrow \int{{{e}^{x}}\cos xdx}=\frac{1}{2}{{e}^{x}}\left( \cos x+\sin x \right)$

Vậy đáp án đúng là A .

Lỗi sai thường  gặp:    Một số học sinh do không chắc kiến thức nên cứ có 𝑒^𝑥 thì cứ coi tích phân và đạo hàm không đổi nên nhầm ngay ra đáp án B. Đáp án D cũng có một số học sinh nhầm bởi phép thế không đổi dấu hoặc sai cơ bản về tích phân lượng giác.