Đối với hàm đa thức, điều kiện cần để hàm số đạt cực trị là: $y'=0$. Do đó ta có:

$y'=3{{x}^{2}}-6mx+\left( 2m+1 \right)$

$y'\left( 1 \right)=0\Leftrightarrow 3-6m+2m+1=0\Leftrightarrow m=1$

Thử lại với $m=1$ ta có: $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+3x-2$

$\Rightarrow y'=3{{\left( x-1 \right)}^{2}}$ không đổi dấu khi qua điểm 1 nên 1 không là cực trị của hàm số. Vậy đáp án của bài toán này là không tồn tại m và đáp án đúng là D.