Đáp án A sai vì khẳng định đúng phải là: $\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$ là tập xác định của hàm số.

Đáp án D sai vì tâm đối xứng của đồ thị hàm số là

giao hai tiệm cận và điểm đó phải là $\left( 1;1 \right)$

Bây giờ, ta chỉ còn phân vân giữa đáp án B và C .

Ta cần chú ý:

Định lý 1 trang 25 sách giáo khoa  Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm cấp hai trên $\left( a,b \right)$. Nếu $f''\left( x \right)<0,\forall x\in \left( a;b \right)$ thì đồ thị hàm số lồi trên khoảng đó và ngược lại.

Ta có:

$y'=-\frac{2}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}\Rightarrow y''=\frac{4}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}$

$y''<0\Leftrightarrow x<1$

Vậy đáp án đúng là đáp án C.