Phân tích: Rất nhiều học  sinh cho rằng: Hàm số $y=f\left( x \right)$ nghịch biến khi và chỉ khi $f'\left( x \right)<0$ trên tập xác định. Nhưng các em lưu ý rằng khi đọc kĩ quyển sách giáo khoa toán của bộ giáo dục ta thấy: -Theo định lý trang 6  sách giáo khoa: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm trên K thì ta có:

1. a) Nếu $f'\left( x \right)>0;\,\forall x\in K$ thì hàm số $y=f\left( x \right)$ đồng biến trên K.


2. b) Nếu $f'\left( x \right)<0;\,\forall x\in K$ thì hàm số $y=f\left( x \right)$ nghịch biến trên K.

Như vậy có thể khẳng định chỉ có chiều suy ra từ $f'\left( x \right)<0$ thì f(x) nghịch biến chứ không có chiều ngược lại.

- Tiếp tục đọc thì ở chú ý trang 7 sách giáo khoa ta có định lý mở rộng: Giả sử hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm trên K. Nếu $f'\left( x \right)\ge 0$ $\left( f'\left( x \right)\le 0 \right);\forall x\in K$ và $f'\left( x \right)=0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K.

Như vậy, đối với các hàm đa thức bậc ba, bậc bốn (ta chỉ quan tâm hai hàm này trong đề thi) thì đạo hàm cũng là một đa thức nên có hữu hạn nghiệm do đó ta có khẳng định:

Hàm đa thức $y=f\left( x \right)$là hàm nghịc biến trên

R khi và chỉ khi đạo hàm $f'\left( x \right)\le 0;\,\forall x\in \mathbb{R}$

Từ đó ta đi đến kết quả:

1. A) $y=-{{x}^{3}}+3x-4\Rightarrow y'=-3{{x}^{2}}+3$

$=3\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)\le 0\Leftrightarrow -1\le x\le 1$ (loại)

1. B) $y=-{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x+1$

$\Rightarrow y'=-3{{x}^{2}}+2x-2=-3{{\left( x-\frac{1}{3} \right)}^{2}}-\frac{5}{3}<0;\,\forall x\in \mathbb{R}$

(chọn)

1. C) $y=-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-3x-1$

$\Rightarrow y'=-3{{x}^{2}}+6x-3=-3{{\left( x-1 \right)}^{2}}\le 0;\,\,\forall x\in \mathbb{R}$

Vậy đáp án đúng ở đây là đáp án D. 

Nhận xét:  Rất nhiều em khi không chắc kiến thức hoặc quá nhanh ẩu đoảng cho rằng y′ phải nhỏ hơn 0 nên sẽ khoanh đáp án B và đã sai!!!