Ta có hình vẽ: 

Ta sẽ tư duy nhanh như sau: Nhìn vào hình thì dễ nhận ra hai khối chóp S.ABCD và S.AHCD có chung chiều cao nên ta chỉ cần so sánh 2 diện tích đáy. Dĩ nhiên ta thấy

$\frac{{{S}_{AHCD}}}{{{S}_{ABCD}}}=\frac{2{{S}_{AHD}}}{2{{S}_{ABCD}}}=\frac{2.\frac{3}{4}{{S}_{BCD}}}{{{S}_{ABCD}}}=2.\frac{3}{4}.\frac{1}{2}=\frac{3}{4}$

${{V}_{SAHCD}}=\frac{3}{4}{{V}_{SABCD}}$

Mặt khác ta có $BAD={{60}^{0}}\Rightarrow $ tam giác ABD đều, nên $AB=BD=AD=a\Rightarrow IH=\frac{a}{4}$. Khi đó

$HC=\sqrt{I{{H}^{2}}+I{{C}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{a}{4} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{13}}{4}$. Khi đó $SH=HC=\frac{a\sqrt{13}}{4}$ (do $SCH={{45}^{0}}$ nên tam giác SCH vuông cân tại H).

$\Rightarrow {{V}_{SAHCD}}=\frac{1}{3}.SH.{{S}_{ABCD}}.\frac{3}{4}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{13}}{4}.a.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{3}{4}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{39}}{32}$