Kẻ $CM//B\text{D},\,AN\bot BC,AH\bot SC$ suy ra $AC\bot CM$ và $d\left( A,\left( SCM \right) \right)=AH$. Gọi $\left\{ I \right\}=AD\cap CM\to \frac{ID}{IA}=\frac{DC}{AM}=\frac{1}{2}$

Theo bài ra ta có góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) là góc SNA nên

$SNA={{60}^{0}}\to SA=AN\tan {{60}^{0}}=\frac{3a\sqrt{3}}{2}$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác SAC vuông taị A ta có

$\frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{S{{A}^{2}}}+\frac{1}{A{{C}^{2}}}=\frac{13}{27{{a}^{2}}}\to AH=\frac{3a\sqrt{39}}{13}$

Ta có

$d\left( BD,SC \right)=d\left( BD,\left( SCM \right) \right)=d\left( D,\left( SCM \right) \right)=\frac{1}{2}d\left( A,\left( SCM \right) \right)$

Suy ra $d\left( BD,SC \right)=\frac{3a\sqrt{39}}{26}$