Kẻ $A'I\bot B'C'$ suy ra $A'I=a\cos {{60}^{0}}=\frac{a}{2}$

Ta có:

$\left\{ \begin{align} & A'A\bot B'C' \\ & A'I\bot B'C' \\ \end{align} \right.\Rightarrow B'C'\bot \left( AA'I \right)\Rightarrow AI\bot B'C'$

Suy ra $\left( \left( AB'C' \right),\left( A'B'C' \right) \right)=AIA'$

Theo bài ra ta có $AIA'={{60}^{0}}$ suy ra $AA'=\frac{a}{2}\tan {{60}^{0}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Thể tích cần tính là

${{V}_{ABC.A'B'C'}}=AA'.{{S}_{A'B'C'}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{1}{2}{{a}^{2}}\sin \left( {{120}^{0}} \right)=\frac{3{{a}^{3}}}{8}$