Ta có $CH=\sqrt{C{{B}^{2}}+B{{H}^{2}}}=a\sqrt{2}$

Theo bài ra ta có

$SH\bot \left( ABC\text{D} \right)\to SH\bot CH\to \left( SH,HC \right)=SCH$

Theo bài ra ta có

$SCH={{45}^{0}}\to \tan {{45}^{0}}=\frac{SH}{CH}\Rightarrow SH=a\sqrt{2}$

Kẻ $HI\bot CD,HL\bot SI$, nhận thấy

$d\left( A,\left( SCD \right) \right)=d\left( H,\left( SCD \right) \right)=HL$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác SHI vuông tại H ta có:

$\frac{1}{H{{L}^{2}}}=\frac{1}{S{{H}^{2}}}+\frac{1}{H{{I}^{2}}}=\frac{1}{{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}}+\frac{1}{{{a}^{2}}}=\frac{3}{2{{a}^{2}}}$

Suy ra $d\left( A,\left( SCD \right) \right)=\frac{\sqrt{6}a}{3}$