Ta có $y=\frac{mx}{{{x}^{2}}+1}\to y'=\frac{m\left( 1-{{x}^{2}} \right)}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}$

$y'=0\leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=-1 \\ & x=1 \\ \end{align} \right.$

Vì hàm số đã cho liên tục và xác định nên ta có hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất tại $x=1$ trên đoạn $\left[ -2;2 \right]$ khi

$y\left( 1 \right)>y\left( -2 \right);y\left( 1 \right)>y\left( 2 \right);y\left( 1 \right)>y\left( -1 \right)$ hay $m>0$