Đặt R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp

Dựng hình như hình bên với IG là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và IG’ là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB

Ta có: $G'H=\frac{\sqrt{3}}{6};GH=\frac{\sqrt{3}}{6}\Rightarrow IH=\frac{\sqrt{6}}{6}$

Do vậy $R=\sqrt{I{{H}^{2}}+H{{A}^{2}}}=\frac{\sqrt{15}}{6}\Rightarrow V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{5\sqrt{15}\pi }{54}$