Gọi $w=a+bi$ , ta có$w=a+bi=(3+4i)z+i\Leftrightarrow z=\frac{a+(b-1)i}{3+4i}=\frac{\left[ a+(b-1)i \right](3-4i)}{9-16{{i}^{2}}}$

$=\frac{3a+4b-4}{25}+\frac{(3b-4a-3)}{25}.i\Rightarrow \left| z \right|=\frac{\sqrt{{{(3a+4b-4)}^{2}}+{{(3b-4a-3)}^{2}}}}{25}$

Mà $\left| z \right|$ = 4 nên$\Leftrightarrow {{(3a+4b-4)}^{2}}+{{(3b-4a-3)}^{2}}={{100}^{2}}\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2b=399$

Theo giả thiết, tập hợp các điểm biểu diễn các số phức $w=(3+4i)z+i$ là một đường tròn nên ta có

${{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2b=399\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{(b-1)}^{2}}=400\Rightarrow r=\sqrt{400}=20$