Vì AB không đổi nên tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất khi CA + CB nhỏ nhất

Gọi $C(t;0;2-t)\in d$. Ta có:

$\begin{align} & OA=\sqrt{{{(t-2)}^{2}}+{{3}^{2}}+{{(2-t)}^{2}}}=\sqrt{2{{(t-2)}^{2}}+{{3}^{2}}} \\ & CB=\sqrt{{{t}^{2}}+2+{{(2-t)}^{2}}}=\sqrt{2{{(1-t)}^{2}}+{{2}^{2}}} \\ \end{align}$

Đặt $\overrightarrow{u}=(\sqrt{2}(t-2);3),\overrightarrow{v}=(\sqrt{2}(1-t);2)=>\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=(-\sqrt{2};5)$

Áp dụng tính chất $|\overrightarrow{u}|+|\overrightarrow{v}|\ge |\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}|$, dấu “=” xảy ra khi $\overrightarrow{u}$ cùng hướng với $\overrightarrow{v}$

Ta có:

$CA+CB=|\overrightarrow{u}|+|\overrightarrow{v}|\ge |\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}|=\sqrt{2+25}=3\sqrt{3}$

Dấu “=” xảy ra khi $\frac{\sqrt{2}(t-2)}{\sqrt{2}(1-t)}=\frac{3}{2}<=>t=\frac{7}{5}$

Khi đó $C(\frac{7}{5};0;\frac{3}{5})$